Mathématiques (4ième)

Sommes Algébriques

Règles de suppression des parenthèses

Lorsqu'une parenthèse est précédée du signe +, on peut supprimer le signe + et la parenthèse à condition de conserver tous les signes à l'intérieur des parenthèses.

Lorsqu'une parenthèse est précédée du signe -, on peut supprimer le signe - et la parenthèse à condition de changer tous les signes à l'intérieur des parenthèses.

(Si le premier terme à l'intérieur des parenthèses n'a pas de signe, c'est le signe +).

  3,78 + ( 2,1 - 1,68 )
= 3,78 + 2,1 - 1,68
( 7,5 - 13 ) - ( 1 + 8 - 0,5 - 13 )
= 7,5 - 13 - 1 - 8 + 0,5 + 13

Nombres Relatifs

1 - Produits

Produits de deux relatifs

La valeur absolue d'un produit de deux facteurs est égale au produit des deux valeurs absolues.

Le produit de deux nombres relatifs de mêmes signes est un nombre relatif positif.
Le produit de deux nombres relatifs de signes différents est un nombre relatif négatif.

Produit de plusieurs facteurs

Le signe d'un produit de plusieurs facteurs ne dépend que du nombre de facteurs négatifs.
Si le nombre de facteurs négatifs est pair, le produit est positif.
Si il est impair, le produit est négatif.

(-2) x (-3,27) x (+25) x (+5) x (-4) = (-3270)

Suite d'additions et de multiplications

Priorités :
On effectue en priorité les calculs entre parenthèses.
S'il n'y a pas de parenthèses, on effectue en premier les multiplications.

-3 * (-5) - [ 10 - 3 * ( 7 + 3 ) ]
= 15 - ( 10 - 3 * 10 )
= 15 - ( 10 - 30 )
= 15 - ( - 20 )
= 15 + 20
= 35

2 - Quotients

Inverse d'un nombre relatif

Définition :
  Si A est un nombre relatif non-nul ( ¹ 0 ), il existe un nombre qui,
  multiplié par A donne 1.
  A * ? = 1         ? est l'inverse de A.
  Remarque : Zero est le seul nombre qui n'admet pas d'inverse.

 Notations :
  L'inverse de A peut s'écrire : 1/A ou A-1
  /!\ Un nombre et son inverse sont toujours de même signe.

2)  Règles de calcul

 Le quotient du nombre A par le nombre B ( ¹ 0 ) est le nombre qui, mutiplié
 par B donne A.
 Ex : 21/3 = 7 car 7*3 = 21

 Pour diviser un nombre, il suffit de le multiplier par son inverse.
 Ex : A ¸ B = A/B = A* (1/B)       avec B ¹ 0

3.  Calculs Fractionnaires

 Quotients Equivalents :
  Quand on pose la division de 4,2 par 0,6 on multiplie le dividende et le diviseur
par le même nombre 10.
4,2 / 0,6 = 42 / 6

Quels que soient les nombres A, B et C ( sauf zero )
A / B = AC / BC  et  AC / BC = A / B

I)  Addition ( et soustraction )

 On ne peut ajouter deux fractions que si elles ont le même dénominateur.
 Enfin bon ça on sait déjà avant la 4ème.

II)  Multiplication ( et division )

 Quels que soient les nombres A, B, C et D ( sauf zero ) :
 ( A / B ) * ( C / D ) = AC / BD
 /!\ Le résultat doit être donné sous sa forme irréductible.

A)  Produit de deux fractions
 
15*14 = 5 * 3 * 7 * 2 = 2
 21*25    3 * 7 * 5 * 5    5

B)  Produit d'un nombre entier par une fraction

 60 * 3 = 60* 3 = 6 * 2 * 5 * 3 = 36
        5        5               5

III)  Quotient de deux fractions

Pour diviser un nombre par une fraction, on multiplie le nombre par l'inverse de la fraction.
( L'inverse de A / B  est  B / A )
Ex : 18 ¸ 4 = 18 * 3 = 3 * 6 * 4 = 18
    3            4         4


4. Les Puissances


I.  Puissance d'exposant entier positif

 Quel que soit le nombre relatif A et le nombre entier positif n ( n ³ 2 )
 An = A * A * A ... * A
            \___________/
                    n facteurs

 Cas paticuliers :
  n = 0  A0 = 1
  n = 1  A1 = A
  n = 2  A2 = se lit A au carré
  n = 3  A3 = se lit A au cube

Propriété :
 A2 * A3 = (A * A) * (A * A * A)
   = A * A * A * A * A = A5
      \______________/
                      5 facteurs

 Cas général :
  An * Ap = An+p

II.  Notation scientifique des grands (ou petits) nombres

1)  Puissances du nombre 10 :

 Exposant entier positif

 100 = 1
 101 = 10
 102 = 100
 103 = 1 000
 105 = 100 000
 10h = 1 0........0
                        \_____/
                         h zéros
 
 Exposant entier négatif


Ecriture decimale Ecriture Fractionnaire Puissance de 10
0,1 1/10 10-1
0,01 1/100 10-2
0,001 1/1000 10-3
0,000....1(h rang après virg.) 1/10h 10-h
2)  Grands nombres

 Ex : La vitesse de la lumiere est égale à 300 000 km/h environ.
         L'écriture scientifique de ce nombre est : 3 * 105

 On écrit ce nombre sous la forme A * 10P avec  1 < A < 10

 Distance parcourue par la lumière en 1 min :
 300 000 * 60
       ou 3 * 105 * 6 * 10
       ou (3*6) (105+1)
       ou 18 * 106 ou 18 millions

 /!\ La notation scientifique est : 1,8 * 107

3)  Petits nombres

L'unité légale de mesure de longueur est le mètre (m). Le diamètre d'un atome de cuivre est environ égal à : 0, 000 000 000 25 (m)
Les scientifiques écrivent ce nombre sous la forme A * 10P
( 1 < A < 10 ) ( P => entier relatif )
L'écriture scientifique de ce nombre est : 2,5 * 10-10


5.  Calcul Littéral

I)  Développer et réduire un produit

1)  Distributivité

 Quels que soient les nombres a, b et c :
 a ( b + c ) = ( a * b ) + ( a * c )
(on lit a facteur de b+c)

 Donc a (b+c) = ab + ac

2)  Double Distributivité

 Quels que soient les nombres a, b, c et d :
 (a+b) (c+d) = (a+b)*c + (a+b)*d
                    = ca + cb + da + db

3)  Développement

 (a-2) (a-3) = (a*a) + a(-3) + (-2)a + (-2)(-3)
                  = a2 - 3a - 2a + 6
                  = a2 - 5a + 6

II)  Réduire une expression littérale

Dans une expression littérale, la même lettrereprésentant le même nombre, le but est de REMPLACER une suite d'opérations par un calcul plus simple.

1er Exemple :
On voudrait calculer : A = 2a + (3-4a) + (a-3) pour a = -18,87
= 2a + 3 - 4a + a - 3
= 2a - 4a + a + 3 - 3
= -a
= 18,87

2eme Exemple :
B = -b - (5-3b) + 6
   = -b - 5 + 3b + 6
   = 3b - b + 6 - 5
   = 2b + 1

3eme Exemple :
2x * 3x = 2 * x * 3 * x = (2*3) (x*x) = 6x2
5x * 2x4 = (2*5) (x*x4) = 10x5

4eme Exemple :
21x4   = 3 * x4-(-2)  =  3x6
7x-2

5eme Exemple :
(2x + 3)2
= (2x + 3) (2x + 3)
= 2x*2x + 2x*3 + 3*2x + 3*3
= 4x2 + 6x + 6x + 9
= 4x2 + 12x + 9

 
    

 

 

 
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